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Probabilités et statistiques - Cours 6 PDF




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Introduction: Probabilités et statistiques

Les probabilités vont nous servir à modéliser une expérience aléatoire, c’est-à-dire un phénomène dont on ne peut pas prédire l’issue avec certitude, et pour lequel on décide que le dénouement sera le fait du hasard.
Exemples :
- l’enfant à naître sera une fille,
- l’équipe de l’OL va battre l’OM lors du prochain match qui les opposera,
- le dé va faire un nombre pair.
La première tâche qui vous attend est de décrire les différentes issues possibles de cette expérience aléatoire. Puis on cherche à associer à chacune de ces éventualités un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance qu’elles ont de se réaliser. Comment interpréter/fixer ce nombre, appelé probabilité ? Il existe plusieurs manières de voir.

Objectif du cours: Probabilités et statistiques

Maîtriser les bases des probabilités et des statistiques.

Contenu: Probabilités et statistiques

1 Introduction : probabilité sur un espace fini
1.1 Probabilité sur un espace fini, événements
  • Probabilités uniformes
1.2 Probabilité conditionnelle et indépendance
  • Probabilité conditionnelle
  • Indépendance
2 Variables aléatoires discrètes
2.1 Espace de probabilité
2.2 Variables aléatoires discrètes
  • Indépendance
  • Lois discrètes usuelles
  • Loi marginale
2.3 Espérance et variance
  • Espérance
  • Variance
2.4 Fonction génératrice des variables aléatoires entières
2.5 Loi et espérance conditionnelles
3 Variables aléatoires à densité
3.1 Manipulation d’intégrales multiples
3.2 Variables aléatoires réelles à densité
  • Densités réelles usuelles
  • Espérance, variance
  • Fonction de répartition
3.3 Vecteurs aléatoires à densité
  • Densité marginale
  • Changement de variables
  • Indépendance
  • Covariance
  • Loi et espérance conditionnelles
3.4 Lois béta, gamma, du chi 2, de Student et de Fisher
4 Simulation
4.1 Simulation de variables aléatoires discrètes
  • Loi de Bernoulli de paramètre p ∈ [0, 1]
  • Loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈ [0, 1]
  • Loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1]
  • Simulation suivant une loi discrète quelconque
4.2 Simulation de variables aléatoires à densité
  • Loi uniforme sur [a, b] avec a < b ∈ R
  • Méthode d’inversion de la fonction de répartition
  • Méthode polaire pour la loi normale centrée réduite
  • Méthode du rejet
5 Convergence et théorèmes limites
5.1 Convergence
5.2 Lois des grands nombres
  • Loi faible des grands nombres
  • Loi forte des grands nombres
5.3 Fonction caractéristique et convergence en loi
  • Fonction caractéristique
  • Convergence en loi
5.4 Le théorème de la limite centrale
  • Enoncé et preuve du résultat
  • Intervalle de confiance dans la méthode de Monte-Carlo
6 Vecteurs gaussiens
  • Stabilité du caractère gaussien par transformation linéaire
  • Construction d’un vecteur gaussien de loi Nn(µ, Λ)
6.2 Propriétés des vecteurs gaussiens
  • Vecteurs gaussiens et indépendance
  • Vecteurs gaussiens et convergence en loi
7 Estimation de paramètres
7.1 Modèle paramétrique
7.2 Estimateurs
  • L’Estimateur du Maximum de Vraisemblance
  • Estimateurs de Moments
  • Amélioration d’estimateurs
7.3 Intervalles de confiance
  • Approche non asymptotique
  • Approche asymptotique
8 Tests d’hypothèses
8.1 Tests
  • Le cas du modèle gaussien P = {N1(µ, σ2), µ ∈ R, σ2 > 0} :
8.2 Le test du χ2
  • Test d’adéquation à une loi
  • Test d’adéquation à une famille de lois
9 Régression Linéaire
9.1 Estimation
9.2 Test de l’utilité des régresseurs

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Cours 11 Probabilités et statistiques
Cours 12 Probabilités et statistiques
Cours et exercices 1 Probabilités et statistiques
Cours et exercices 2 Probabilités et statistiques
Résumé 1 Probabilités et statistiques
Résumé 2 Probabilités et statistiques

Exercices corrigés: Probabilités et statistiques


Exercices corrigés 1 Probabilités et statistiques
Exercices corrigés 2 Probabilités et statistiques
Exercices corrigés 3 Probabilités et statistiques
Exercices corrigés 4 Probabilités et statistiques
Exercices corrigés 5 Probabilités et statistiques
Exercices corrigés 6 Probabilités et statistiques
Exercices corrigés 7 Probabilités et statistiques
Exercices corrigés 8 Probabilités et statistiques

Examens corrigés: Probabilités et statistiques


Examen corrigé 1 Probabilités et statistiques
Examen corrigé 2 Probabilités et statistiques
Examen corrigé 3 Probabilités et statistiques


MATHÉMATIQUES


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