Probabilités et statistiques - Cours 1 PDF




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Introduction: Probabilités et statistiques

Les probabilités vont nous servir à modéliser une expérience aléatoire, c’est-à-dire un phénomène dont on ne peut pas prédire l’issue avec certitude, et pour lequel on décide que le dénouement sera le fait du hasard.
Exemples :
  1. l’enfant à naˆıtre sera une fille,
  2. l’équipe de l’OL va battre l’OM lors du prochain match qui les opposera,
  3. le dé va faire un nombre pair.
La première tˆache qui vous attend est de décrire les différentes issues possibles de cette expérience aléatoire. Puis on cherche à associer à chacune de ces éventualités un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance qu’elles ont de se réaliser. Comment interpréter/fixer ce nombre, appelé probabilité ? Il existe plusieurs manières de voir.

Objectif du cours: Probabilités et statistiques

Maîtriser les bases des probabilités et des statistiques.

Contenu: Probabilités et statistiques

1 Introduction : probabilité sur un espace fini
1.1 Probabilité sur un espace fini, événements
  • Probabilités uniformes
1.2 Probabilité conditionnelle et indépendance
  • Probabilité conditionnelle
  • Indépendance
2 Variables aléatoires discrètes
2.1 Espace de probabilité
2.2 Variables aléatoires discrètes
  • Indépendance
  • Lois discrètes usuelles
  • Loi marginale
2.3 Espérance et variance
  • Espérance
  • Variance
2.4 Fonction génératrice des variables aléatoires entières
2.5 Loi et espérance conditionnelles
3 Variables aléatoires à densité
3.1 Manipulation d’intégrales multiples
3.2 Variables aléatoires réelles à densité
  • Densités réelles usuelles
  • Espérance, variance
  • Fonction de répartition
3.3 Vecteurs aléatoires à densité
  • Densité marginale
  • Changement de variables
  • Indépendance
  • Covariance
  • Loi et espérance conditionnelles
3.4 Lois béta, gamma, du chi 2, de Student et de Fisher
4 Simulation
4.1 Simulation de variables aléatoires discrètes
  • Loi de Bernoulli de paramètre p ∈ [0, 1]
  • Loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈ [0, 1]
  • Loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1]
  • Simulation suivant une loi discrète quelconque
4.2 Simulation de variables aléatoires à densité
  • Loi uniforme sur [a, b] avec a < b ∈ R
  • Méthode d’inversion de la fonction de répartition
  • Méthode polaire pour la loi normale centrée réduite
  • Méthode du rejet
5 Convergence et théorèmes limites
5.1 Convergence
5.2 Lois des grands nombres
  • Loi faible des grands nombres
  • Loi forte des grands nombres
5.3 Fonction caractéristique et convergence en loi
  • Fonction caractéristique
  • Convergence en loi
5.4 Le théorème de la limite centrale
  • Enoncé et preuve du résultat
  • Intervalle de confiance dans la méthode de Monte-Carlo
6 Vecteurs gaussiens
  • Stabilité du caractère gaussien par transformation linéaire
  • Construction d’un vecteur gaussien de loi Nn(µ, Λ)
6.2 Propriétés des vecteurs gaussiens
  • Vecteurs gaussiens et indépendance
  • Vecteurs gaussiens et convergence en loi
7 Estimation de paramètres
7.1 Modèle paramétrique
7.2 Estimateurs
  • L’Estimateur du Maximum de Vraisemblance
  • Estimateurs de Moments
  • Amélioration d’estimateurs
7.3 Intervalles de confiance
  • Approche non asymptotique
  • Approche asymptotique
8 Tests d’hypothèses
8.1 Tests
  • Le cas du modèle gaussien P = {N1(µ, σ2), µ ∈ R, σ2 > 0} :
8.2 Le test du χ2
  • Test d’adéquation à une loi
  • Test d’adéquation à une famille de lois
9 Régression Linéaire
9.1 Estimation
9.2 Test de l’utilité des régresseurs

 
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Cours 12 Probabilités et statistiques
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Cours et exercices 2 Probabilités et statistiques
Résumé 1 Probabilités et statistiques
Résumé 2 Probabilités et statistiques

Exercices corrigés: Probabilités et statistiques


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Examens corrigés: Probabilités et statistiques


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Examen corrigé 2 Probabilités et statistiques
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