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Séries de Fourier - Exercices corrigés 2 PDF




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Objectifs: Séries de Fourier

Maîtriser les notions liées aux Séries de Fourier.

Motivation: Séries de Fourier

L’intérêt des séries de Fourier apparaît notamment quand on cherche à résoudre les équations différentielles linéaires du second ordre associées aux circuits électriques. Considérons un circuit RLC comprenant un condensateur de capacité C, une bobine d’inductance L et une résistance R. On envoie dans ce circuit un courant alternatif, dont la tension est une fonction périodique s(t), et on s’intéresse à la charge q(t) du condensateur. L’équation (E) qui régit ce circuit est Lq'' + Rq' + q/C = s(t). On sait qu’on en trouve les solutions en ajoutant à la solution générale de l’équation homogène (E0) associée à (E) une solution particulière de (E). Lorsque le signal s est sinusoïdal, par exemple s(t) = sin ωt, c’est facile car on cherche une solution de la forme a cos ωt + b sin ωt. Mais, souvent, le signal fourni est plus compliqué, et pas forcément régulier (signal en créneau ou en dent de scie par exemple). Si l’on a une décomposition de s(t) en somme de fonctions trigonométriques : s(t) = PN n=0(an cos nωt + bn sin nωt) le calcul est encore facile en traitant séparément le cas de chaque terme (on parle d’harmoniques) et en les ajoutant (principe de superposition). En général on ne peut espérer avoir un tel développement avec une somme finie et c’est pourquoi on va essayer d’écrire la fonction périodique s comme somme d’une série trigonométrique. C’est toute la problématique des éries de Fourier.

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